Linearfaktorform

 

Die Linearfaktorform ist eine spezielle Art, wie man eine quadratische Funktion schreiben kann.

Nehmen wir zum Beispiel die Funktion

 

f (x) = 2x² - 4x - 6

 

Diese Funktion hat Nullstellen bei x = 3 und x = -1. Wenn man das weiß, kann f (x) auch mithilfe der Nullstellen in der Linearfaktorform bestimmen:

 

f (x) = 2 · ( x - 3 ) · ( x + 1)

 

Ihr seht, die Linearfaktorform ist nichts anders, als zwei Klammern mit jeweils "x minus Nullstelle", die miteinander malgenommen werden.

Nicht vergessen: aus ( x - (- 1)) wird dabei (x + 1) !

Die Zahl, die vorher vor dem x² stand, steht jetzt ganz vorne, man nennt sie die "Öffnungsvariable a", in diesem Beispiel das die 2.

Wie man die Nullstellen bestimmt steht im Kapitel Nullstellen.

 

Allgemein lautet die Linearfaktorform also:

f(x) = a · ( x - x₁ ) · ( x - x₂)

 

Wichtig: Ob ich eine Funktion in der Linearfaktorform oder in der normalen Form hinschreibe ist völlig egal, es bleibt die gleiche Funktion.

 

Zum Test multiplizieren wir die Linearfaktorform aus, um zu sehen, ob auch wirklich das Gleiche rauskommt:

 

   
f (x) = 2 · ( x - 3 ) · ( x + 1)

        = ( 2x - 6) · ( x + 1)

        = 2x² + 2x - 6x - 6

        = 2x² - 4x - 6

 

Wer genau hinschaut sieht, dass das die gleiche Funktion ist wie am Anfang! Folglich war unsere Linearfaktorform richtig!

 

Die Linearfaktorform gibt es deshalb nur bei Funktionen, die Nullstellen haben.

 

 

 

Übungen:

Bestimme für die folgenden Funktionen die Linearfaktorform.

Tipp: Berechne dazu als erstes die Nullstellen.